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    [注意]2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)         
    2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)
    作者:温日明 文章来源:本站原创 点击数: 更新时间:2015/6/10 16:30:59

    2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)

    .解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

    17、(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,

    BPC90°

    (1)PB=,求PA;

    (2)APB150°,求tanPBA

     

     

     

     

    18、(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

    )证明ABA1C;

    )若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

     

     

     

     

     

    19、(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为50%,且各件产品是否为优质品相互独立.

    1)求这批产品通过检验的概率;

    2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望。

     

     

     

     

     20、(本小题满分12)已知圆 : , : ,动圆 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 C.
       
    )求C的方程;

       
    是与圆 , 都相切的一条直线, 与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

    21、(本小题满分共12分)已知函数 , ,若曲线 曲线 都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线

    )求 , , , 的值

    )若 ≥-2时, ,求 的取值范围。

     

     

     

     

     

     

     

     

    请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

    22、(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲  题目略

     

    23、(本小题10分)选修44:坐标系与参数方程 

     已知曲线C1的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 。

    )把C1的参数方程化为极坐标方程;

    )求C1C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。

     

     

     

     

    24、(本小题满分10分)选修45:不等式选讲

    已知函数 = , = .

    )当 =2时,求不等式 的解集;

    )设 -1,且当 [ , )时, , 的取值范围.

     

    2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)答案

    17.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 = = ,∴PA= ;

    (Ⅱ)设∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA中,由正弦定理得, ,化简得, ,∴ = ,∴ = .

    18.【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, , ,

    AB= , = ,∴ 是正三角形,

    AB,∵CA=CB,∴CEAB, =E,∴AB⊥面 ,  AB ;…6

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知ECAB, AB,

    又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC ,

    EA,EC, 两两相互垂直,以E为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系 ,有题设知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(1,0,0), =1,0, , = =(1,0, ), =(0, , ),  ……9

    = 是平面 的法向量,则 ,即 ,

    可取 = ,1,-1),∴ = ,

    直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 .       ……12

    19.【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)(CD),ABCD互斥,

    P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .6

    (Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且

    P(X=400)=1- = ,P(X=500)= ,P(X=800)= = ,

    X的分布列为

    X

    400

    500

    800

    P

                                                          ……10

    EX=400× +500× +800× =506.25                  ……12

    20.【解析】由已知得圆 的圆心为 -1,0,半径 =1,圆 的圆心为 (1,0),半径 =3.

    设动圆 的圆心为 , ),半径为R.

    (Ⅰ)∵圆 与圆 外切且与圆 内切,∴|PM|+|PN|= = =4,

    由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 .

    (Ⅱ)对于曲线C上任意一点 , ),由于|PM|-|PN|= 2,∴R2,

    当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

    ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ,

    的倾斜角为 时,则 轴重合,可得|AB|= .

    的倾斜角不为 时,由 R 不平行 轴,设 轴的交点为Q,则 = ,可求得Q-4,0),∴设 ,由 于圆M相切得 ,解得 .

    = 时,将 代入 并整理得 ,解得 = ,∴|AB|= = .

    = 时,由图形的对称性可知|AB|= ,

    综上,|AB|= |AB|= .

    21【解析】(Ⅰ)由已知得 ,

    = , = ,∴ =4, =2, =2, =2;……4

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,

    设函数 = = ),

    = = ,

    有题设可得 0,即 ,

    =0得, = , =2,

    1)若 ,则-2 0,∴当 时, 0,当 时, 0,即 单调递减,在 单调递增,故 = 取最小值 ,而 = = 0,

    ∴当 ≥-2时, 0,即 恒成立,

    (2) ,则 = ,

    ∴当 ≥-2时, 0,∴ (2,+)单调递增,而 =0,

    ∴当 ≥-2时, 0,即 恒成立,

    (3) ,则 = = 0,

    ∴当 ≥-2时, 不可能恒成立,

    综上所述, 的取值范围为[1, ].

     23.【解析】将 消去参数 ,化为普通方程 ,

    ,将 代入 得,

    ,

    的极坐标方程为 ;

    的普通方程为 ,

    解得 ,∴ 的交点的极坐标分别为( ), .

    24.【解析】当 =-2时,不等式 化为 ,

    设函数 = , = ,

    其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 时, 0,∴原不等式解集是 .

    )当 [ , )时, = ,不等式 化为 ,

    [ , )都成立,故 ,即 ,

    的取值范围为(-1, ].

     

     

     

    文章录入:温日明    责任编辑:温日明 
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